Esordisce intorno ai 5 anni di età al Grand Hotel di Roma cantando la canzone O mese d’e rrose di Roberto Murolo. Avendo svolto una buona interpretazione, Sorrentino attirò l’attenzione di un giornalista, e in seguito Lilly D’Eramo (moglie del regista Nanni D’Eramo) invitò la madre a portare Claudio e le sue sorelle alla scuola di recitazione e di teatro per bambini. All’età di 6 anni interpretò “Zi’ Dima” ne La giara di Luigi Pirandello e “Medoro” in Sik Sik di Eduardo de Filippo in diversi teatri di Roma.
Sorrentino partecipò in seguito come attore nell’opera in quattro puntate Vita col padre e con la madre assieme a Paolo Stoppa, Rina Morelli e Corrado Pani.
In quel periodo iniziò la sua carriera di doppiatore partecipando al film L’ultima carovana di Delmer Daves (1956).
Nel mondo del doppiaggio è noto soprattutto per aver prestato voce a John Travolta in gran parte dei suoi film, a Mel Gibson dal film Arma letale in poi, a Ron Howard nel ruolo di Richie Cunningham nella sitcom Happy Days, a Patrick Duffy nel ruolo di Bobby Ewing nel telefilm Dallas e al personaggio Koji Kabuto nell’anime Mazinga Z.
Ha anche doppiato Bruce Willis in Die Hard – Duri a morire, Die Hard – Vivere o morire e Die Hard – Un buon giorno per morire, Sylvester Stallone in Cop Land, Willem Dafoe in L’ultima tentazione di Cristo, e anche Ryan O’Neal in Love Story. Tra gli altri attori, ha doppiato anche Jeff Bridges, Mickey Rourke, Geoffrey Rush, Gérard Depardieu, Daniel Day-Lewis e Russell Crowe. È anche stato la voce ufficiale di Topolino negli anni settanta.
Nel 1979 conduce sulla Rete 1 della RAI il programma domenicale estivo È permesso?, che sostituisce Domenica in, lanciato proprio nelle ultime puntate della trasmissione di Corrado: di questo programma Sorrentino canta anche la sigla omonima, che viene incisa su un 45 giri così come avvenne per Nghé e Tic Tac, altri due dischi di Sorrentino legati a trasmissioni da lui condotte per la TV dei ragazzi. Negli anni ottanta è stato conduttore di Tandem, trasmissione pomeridiana di Rai 2 (a cura di Ettore Desideri, regia di Salvatore Baldazzi) in cui intervenivano allievi di scuole superiori, con anche Roberta Manfredi, Fabrizio Frizzi e Marco Dané.
Nel 1984 ha contribuito al soggetto del film di Tonino Pulci Signore e signori.
Tra il 1995 e il 2000 è stato autore e conduttore della trasmissione radiofonica I suoni del cinema, legata al mondo del doppiaggio cinematografico e trasmessa da RDS prima e poi da Radio 101.
